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第10章 綜合應用與自我診斷

真實的題目不一定直接告訴你「這題用乘法」。同一個問題可能同時需要分數、單位換算、整數限制與驗算。最後一章要練習的是：先建立正確問題，再選擇計算方式。

本章讀完，你應能列出已知量、單位、限制與目標，完成逐步計算，並把錯誤記錄成可修正的具體原因，而不是只留下對或錯。

10.1 先分清目標與條件

開始計算前，先用一句話寫出要求什麼。再列出題目真的提供了哪些資訊，以及哪些額外假設是你使用模型時需要的。

例如「需要18公升」與「每瓶2.5公升」還沒有直接說能買幾分之幾瓶。若只能買整瓶，答案就必須符合整數限制；若可以分裝購買，問題則不同。

把單位與資格寫在數字旁邊，可以及早發現把公分當公尺、把人數當公升、或把比例的一項誤當總量的錯誤。

例題1 活動飲料要準備幾瓶

問題：24人每人需要3/4公升飲料，每瓶容量2.5公升，只能準備整瓶。至少要幾瓶？按題目需求分完後還剩多少公升？這裡不計灑漏，也假設容量可直接相加。

1. 先求總需求：24 × 3/4 = 18公升。
2. 若只計體積比值，18 ÷ 2.5 = 7.2，但瓶數必須是非負整數。
3. 7瓶只有7 × 2.5 = 17.5公升，不足18公升。
4. 8瓶有8 × 2.5 = 20公升，已足夠。容量為正，少於7瓶只會更少，所以最少是8瓶。
5. 分出18公升後，剩20 − 18 = 2公升。

回查：18公升除以24人，得到每人3/4公升；已準備的20公升減去需求18公升，回到剩餘2公升。

這裡選8瓶不是把7.2四捨五入。它是在找最小的、能滿足供給要求的整數；若四捨五入成7，反而不符合題意。

10.2 用另一條路檢查數量

例題2 長方形區域鋪方磚

問題：一個長2.4公尺、寬1.5公尺的長方形區域，使用邊長0.3公尺的正方形磚，沿長寬方向整齊排列，不留縫、不切割。需要幾片？若每箱12片且只能買整箱，最少幾箱，會剩幾片？

1. 長向可排2.4 ÷ 0.3 = 8片。
2. 寬向可排1.5 ÷ 0.3 = 5片。
3. 兩個方向都剛好是整數片，所以這種排列確實可行。
4. 總片數是8 × 5 = 40片。
5. 3箱只有36片，不足；4箱有48片，足夠。因此最少4箱，剩48 − 40 = 8片。

另用面積檢查：區域面積是2.4 × 1.5 = 3.6平方公尺；每片面積0.3 × 0.3 = 0.09平方公尺。3.6 ÷ 0.09 = 40，與排數相乘一致。

只算面積比值，並不能對任意形狀保證都能不切割地鋪滿。本題另檢查了兩個邊長都是0.3的整數倍，才把面積計算與具體排列接起來。

10.3 診斷錯誤要找到哪一步失去理由

例題3 檢查一段錯誤的分數運算

問題：計算−3 + 2 × (1/2 + 1/4)。有人先把括號寫成2/6 = 1/3，又把−3與2先合併，得到−1/3。請檢查。

1. 第一個錯誤是直接把分子、分母分別相加。應先通分：1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4。
2. 第二個錯誤是改變運算分組。原式的2要先乘括號，不能先與−3相加。
3. 正確下一步是−3 + 2 × (3/4)。
4. 先算乘法2 × 3/4 = 3/2，再算−3 + 3/2 = −6/2 + 3/2 = −3/2。
5. 因此答案是−3/2，也可以寫成−1.5。

回查這條計算鏈：−3/2加回3，得到3/2；再除以非零的2，得到3/4；再減1/2，回到括號中另一項1/4。每一步都要注意運算方向與除數資格，不能只說「反過來看好像對」。

10.4 可重複使用的解題檢查

1. 條件：已知量、單位、論域、非零條件與整數限制是什麼？
2. 模型：算式真的表達題意嗎？分母、百分率和比例的基準量對不對？
3. 計算：括號、符號、通分、約分與近似規則各有沒有理由？
4. 回查：回代、反向運算、另一種表示或大小估計，能否與原條件接起來？
5. 錯因：如果結果不一致，是讀題、概念、運算、單位還是呈現出了問題？

回查能幫助確認這次計算，但一個數值例子不能代替一般命題的證明。反過來，一次做錯也不足以判定一個人的整體數學能力；先記下具體錯誤，再看是否能理解並修正。

10.5 練習

1. B01-C10-Q01：18人每人需要2/3公升飲料，總共需要多少公升？
2. B01-C10-Q02：承上題，每瓶2.5公升且只能準備整瓶，至少幾瓶？按需求分完後剩多少公升？
3. B01-C10-Q03：長1.8公尺、寬1.2公尺的長方形，沿長寬方向鋪邊長0.3公尺的方磚，不留縫、不切割，需要幾片？
4. B01-C10-Q04：一個合成價格模型從80元先降低25%，再按降後價格提高25%。結果會回到80元嗎？
5. B01-C10-Q05：計算7/8 − (1/4 + 1/8)，並用加法檢查。
6. B01-C10-Q06：計算−4 + 3 × 2，指出運算次序。
7. B01-C10-Q07：計算√49 + 2³，說明根號與冪的值。
8. B01-C10-Q08：有人寫2/5 + 1/3 = 3/8。請指出錯因，寫出正確推導。

10.6 完整解答

Q01

總需求是18 × 2/3 = 12公升。檢查12 ÷ 18 = 2/3公升／人，與每人的需求相符。

Q02

4瓶只有4 × 2.5 = 10公升，不足12；5瓶有12.5公升，足夠，所以至少5瓶。剩餘12.5 − 12 = 0.5公升。不能把12 ÷ 2.5 = 4.8直接當成整瓶數。

Q03

長向1.8 ÷ 0.3 = 6片，寬向1.2 ÷ 0.3 = 4片，兩個方向都能整齊排列。總片數6 × 4 = 24片。面積核對：1.8 × 1.2 = 2.16，2.16 ÷ 0.09 = 24。

Q04

先降低80 × 25% = 20元，得到60元。再提高的是60的25%，即15元，得到75元，不是80元。第二次的基準量已改變，所以相同百分率不會自動互相抵消。

Q05

先算括號：1/4 + 1/8 = 2/8 + 1/8 = 3/8。再算7/8 − 3/8 = 4/8 = 1/2。檢查1/2 + 3/8 = 4/8 + 3/8 = 7/8。

Q06

先乘法3 × 2 = 6，再算−4 + 6 = 2。若先把−4與3合併，便改變了原式的分組，不能作為合法下一步。

Q07

√49取非負主平方根，是7；2³是2 × 2 × 2 = 8。因此總和7 + 8 = 15。

Q08

錯在沒有先統一每份大小，直接把分子和分母相加。採共同分母15，2/5 = 6/15，1/3 = 5/15，因此和是11/15。減去5/15後得到6/15 = 2/5，可回查第一個加數。

10.7 本冊回顧與後續學習

本冊從位值與表徵開始，建立整數、分數、小數、百分率、比例及基本冪根的運算。你現在可以用相同數量的不同表示法解題，也可以把每一步接回原來的條件。

若要繼續，可進入第二冊的變數與方程，或第三冊的幾何測量。遇到不熟的部分，先回到對應章節的完整例題，再做同型練習；不要只以記住最後一個數字取代理解。