梯度向量

數學敘述

對f:R^n→R，gradient為(partial_1 f,...,partial_n f)，座標順序屬資料。本輪exact slice使用有理係數多項式terms [coefficient, exponent-vector]，以symbolic differentiation產生各coordinate polynomial並在有理點精確求值。gradient zero只證stationary，不充分推出local/global extremum；partial derivatives逐一存在在一般情況不保證differentiability。邊界包含norm在原點的missing partial、x^2-y^2的saddle、不完整coordinate list，以及f(x,y)=s*x^3/(x^2+y^2)、f(0,0)=0在原點兩偏導存在但沿y=x否證可微。

代表公式（精確 TeX）

G(f,x)=v

成立條件

• dimension、term exponents與point arity完全一致；同類monomials先canonical合併。
• 座標基底固定為standard Euclidean basis，不靜默變換metric或coordinates。

符號作用域

• G — 梯度算子
• f — 多變數實函數
• x — 座標點
• v — 梯度向量

直觀、定義與常見誤解

symbolic gradient保留dimension與coordinate order。

point evaluation使用exact rationals。

stationary、differentiable與extremum是不同責任。

把partial存在當可微，或把gradient zero當極小／global optimum證明。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 偏導數 — coordinate derivatives。
• 固定基底下的平面向量 — ordered component vector。
• 多變數實函數 — domain與scalar codomain。

驗證界線

本輪不自動給gradient descent收斂、Lagrange multiplier或Hessian分類。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入梯度下降與Lagrange乘數必要條件。

同源結構化資料

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