有限變異數IID中央極限定理

數學敘述

明示無限IID process certificate、共同finite law、mu與0<sigma^2<infinity。令S_n=sum_{i=1}^n X_i，標準化Z_n=(S_n-n*mu)/(sigma*sqrt(n))，則對標準常態CDF的連續點z有P(Z_n≤z)→Phi(z)。exact families完整重算finite law moments、Z_n的mean 0／variance 1與Bernoulli sum lattice；另有完整hypotheses-to-named-theorem symbolic application。有限binomial table不是normal approximation或convergence evidence；non-IID只表示本定理不可套用，zero variance使標準化失效，wrong scaling與finite histogram均不得冒充CLT。

代表公式（精確 TeX）

C(X,n,z)=b

成立條件

• 序列是明示的無限IID process，不由有限sample推定。
• 共同law具有有限mean與嚴格正、有限variance。
• 標準化使用sigma*sqrt(n)，不是n*sigma或未中心化的和。

符號作用域

• C — 中央極限定理算子
• X — 無限IID序列
• n — 樣本大小
• z — 標準常態CDF門檻
• b — 分布收斂結論

直觀、定義與常見誤解

完整無限IID與moment資格先於named theorem。

finite standardized moments與binomial lattice可重算，但不是收斂證明。

zero variance、non-IID、wrong scaling與finite histogram分層拒絕。

由一個看似鐘形的有限histogram宣稱CLT，或把sqrt(n)誤換成n。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 獨立同分布序列 — 無限IID process。
• 依分布收斂 — CLT結論。
• 有限模型的期望值 — 共同mean。
• 有限機率模型的變異數 — 共同positive finite variance。
• 標準常態分布 — 極限law與CDF。
• σ-代數與測度空間 — 無限process與distribution語義。
• 二項式定理 — Bernoulli sum exact lattice probabilities。

驗證界線

finite laws與lattice tables只證指定n；一般distributional limit未形式化。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入Lindeberg條件、Berry–Esseen誤差與multivariate CLT。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。