標準常態分布

數學敘述

本節點把Gaussian integral normalization、E[Z]=0與Var(Z)=1明列為named theorem facts，不以有限quadrature偽造完整推導。題庫可精確處理density symbolic form、evenness、phi(x)/phi(0)=exp(-x^2/2)，以及由declared normalization與symmetry推出Phi(0)=1/2與Phi(-x)=1-Phi(x)。一般nonzero x的CDF沒有elementary exact value；finite numerical integration不證normalization或moments，continuous CDF也不自動有density或是normal law。

代表公式（精確 TeX）

F(t)=P(Z\le t)

成立條件

• 符號題固定standard normal，不引入mu或sigma參數。
• normalization與moments以明示named facts標記來源責任，非本輪有限計算結果。

符號作用域

• P — 底層機率空間的機率測度
• Z — 標準常態隨機變數
• F — 標準常態累積分布函數
• t — 累積分布函數的實數自變數

直觀、定義與常見誤解

density qualification與normalization theorem fact分開。

evenness給對稱CDF identities。

normalization與moments不由finite quadrature接受。

記號對齊候選：P 是底層機率空間上的機率測度，P(Z≤t) 是可測事件 {ω:Z(ω)≤t} 的機率；F(t) 是標準常態 Z 的 CDF 值，不是把 Z 當事件或把隨機的 F(Z) 當標量 CDF 自變數。Gaussian normalization 與 moments 的既有 named-fact 責任不變。

以幾個數值積分點宣稱Gaussian integral、mean或variance已證，或把任意continuous CDF稱normal。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 連續實值分布函數 — continuous CDF。
• 瑕積分 — density normalization背景。
• 實指數函數 — Gaussian exponential。
• 自然數冪與主平方根 — normalization constant。
• 有限模型的期望值 — mean語義背景。
• 有限機率模型的變異數 — variance語義背景。

驗證界線

本輪不完整推導Gaussian integral、exp differentiation或integration by parts；這些保持named theorem facts。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入有限變異數IID中央極限定理。

同源結構化資料

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