OCME · 中英數學知識與推導

七輪線性與有限映射：向量、矩陣、方程及單滿射

在七個既有知識物件及其前置上深化跨域題族；保持數學來源不變，以精確有限切片核對邊界。

這是教學建議順序，不是一般性的邏輯依賴或已形式化證明。

1. 階段 1 · required

   實數

   本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。

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2. 階段 1 · required

   四則運算

   本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。

   相關題目 概念導讀

3. 階段 1 · required

   座標平面

   本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。

   相關題目 概念導讀

4. 階段 1 · required

   函數映射

   本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。

   相關題目 概念導讀

5. 階段 1 · required

   一元一次方程式

   本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。

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6. 階段 1 · required

   量詞與明示論域

   本密度脈衝所需的既有 Canonical 前置。

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7. 階段 2 · optional

   固定基底下的平面向量

   固定標準基底下的整數向量：兩純量加權、相反差、純量和兩側與候選分量殘差。零純量与零向量合法，逐分量不當內積或長度。

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8. 階段 2 · optional

   有限矩陣的尺寸、索引與轉置

   非空1至5行列整數矩陣：轉置再轉置、同尺寸加法的兩側轉置、三個1起算索引資格與候選轉置逐項殘差。形狀不合先拒絕求值，不當求逆或反序。

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9. 階段 2 · optional

   單射與不同輸入的辨識

   完整Fin總表單射：列出全部碰撞、移去一個輸入後保留原標籤、附加輸出的陪域資格與限制到明示子集合。空源单射真，碰撞必有兩個不同輸入；重複表示不當多值函數。

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10. 階段 2 · optional

    滿射與陪域覆蓋

    完整Fin總表滿射：全纖維與漏項、更換陪域先容納全部輸出、刪輸入保原標籤後漏項、兩個候選目標的資格與首原像。空到空滿射真，空到非空不滿；值域不自動當陪域。

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11. 階段 3 · optional

    矩陣表示的實平面線性映射

    明示全R²到R²列向量模型Mv：基底列重建、加法兩側、純量兩側與Mv+b的零點障礙。零矩陣可以線性，有限測值不替任意函數證明線性。

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12. 階段 3 · optional

    實二階方陣的行列式

    R上2×2有號行列式：交换兩行的負號、t²縮放、通常行乘列的兩序乘積、絕對值候選誤判。實數域非零可逆不搬至整數環，負行列式不取絕對值。

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13. 階段 3 · optional

    二元聯立一次方程組與退化邊界

    R上整數係數的兩元兩式：有理候選逐式殘差、係數與增廣秩區分無解／唯一／無限多解、加倍列消元與第一列縮放。t=0不是可逆列操作，不能只看行列式零便稱無解。

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